Математика по-новому. Небольшая вводная лекция №5

Приветствуем, Дорогие Подписчики и зрители SEOSPRINT!

 

Сейчас в этот замечательный весенний период, многие ученики средних и высших образований возвращаются обратно к любимому делу - Академическому труду.
Конечно же мы знаем, что мало кто предпочитает учится, учитывая как банально и скучно в наше время подается учебный материал, бывает непривычно осваивать новое, а порой это вгоняет в Депрессию. Сидеть на лекциях, вести конспекты - "Грызть гранит Науки"!

 

А что если мы попробуем с вами поменять отношение к самой идее обучения, и к некоторым сложным предметам в частности. Программисты доказали, что обучить новых людей новым навыкам можно проще и доступнее, если поменять сам подход к образованию и занятся не столько теорией, сколько методологией преподавания. Мы решили сделать в точности то же самое, взять самые сложные изизвестных предметов средних и высших образовательных учреждений и перевести их в иную форму восприятия информации.

 

Какой предмет мы знаем, при упоминании которого в мозгу у человека словно что-то коротит.. Где самым неприятным для каждого будущего абитуриента считается выход к доске, что чаще всего означало неспособность проронить и слова.. Это конечно же Класс Математики.

 

Математика.. Наука всех наук. ч4 - "Азы Арифметики" часть 2.

В прошлой части мы изучили такую вещь как фиксированная точка в числе задаваемая 10-кой. Да и вообще определили для себя 10 как новое число влияющее на конечный результат всего выражения.

 

Мы коротко и не очень серьезно отметили, что деление - крайне опасная операция, потому что очень просто создает путанницу в голове и на бумаге, если сходу нельзя поделить вещь на нужное число отрезков. Но сегодня мы как раз попробуем упростить Деление до известных нам порядков.

** В завершении прошлой статьи был представлен способ определения ответа через кратность самого делимого, где делитесь определяет собой и частное. Но, как выяснилось, чем сложнее и больше само число, чем больше повторных делений требуется, тем мы дальше от результата, так как погрешность тоже возрастает от каждого нового выражения.

 

Вернемся же к нашим яблокам.


- Если предположить, что каждая часть яблока (тобишь его частное) является точной копией любого другого частного, то мы получаем прямую связь с множителями.

 

В таком случае мы можем разбить яблоко на 4 куска по 2 в каждом. Мы получим, что как бы мы не провели центральную ось, сумма на любой из ее сторон будет равна 4 или (2 х 2)

(вспомним бинарную схему деления клеток)

Когда мы 8 сравниваем с 2, получаем что лишь из любых 4 частей = 2 в отношении к всему яблоку можно собрать то самое яблоко, те самые 8 в значении.

 

Что приятно, если яблоко существенно увеличить в значимости и сделать его равным 8 х 2, тобишь 16 -

то все частные тоже увеличатся в значимости ровно в 2 раза
(при яблоке со значением делимого 16, мы получаем ответом 4 х 2 как частное при делении пополам)
Проще говоря, зная кратность и зная частное от деления на 2 - можно узнать любое частное от любого делимого. Проблема начинается только с увеличением делителя..

Делитель - это то число, на которое пробуют делить исходное значение.
Делитель - это причина появления погрешности, так как всегда формирует остаток.

Частное - это мельчайшая часть, способная при умножении на делитель дать число приближенное к делимому.

Но вот мы получили неровное яблоко, 8 : 3

И вот тут возникает проблема. Дело в том, что яблоко со значением 8 никак не делится на 3 равных части. Если мы делим следующим способом на 3 части, то получим выражение вида:
1+2 + 1+2 + 2 

Но это лишь выражение, а что же его результат. Тут вся проблема в том, что результат очень далек от ожидаемого..

Если мы 8 : 2, а потом результат этого выражения тоже делим на 2.
Получим 2.. Но так как тут у нас присутствует нечетный делитель, то и погрешность встает где то между числом 2 и 3..
Можно смело сказать, что это будет где-то 2:3 потому что у нас четное число, которое свободно делится на 2, но имеет ту же проблему что и нечетное число, которое кратно 3.

Выходит следующая ситуация:
8 : 3 =2 + 2 : 3

Если не верите - проверьте! Можно взять калькулятор и вписать 2 этих выражения, получите такой ответ - 2,66 = 2,66
Все потому что погрешность от -1+1 всегда остается неизменной, но умножается на число повторений..

- а вот так дело обстоит с числом кратным 3. Если 6 : 3

Можно сделать все то же самое и с 3..что менее удобно
тогда мы 1 - 3 : 9 + 2, так как ищем ответ на выражение 8 : 2
1 -  0,33 + 2 = 2,66 (если без округления)
Или при выражении 10 : 3
равно 3 : 9 + 3 = 3,33
( и это все нечетный способ проверки, когда берется нечетный квадрат= 3) 

 

Поэтому, чтобы найти погрешность при делении четного делимого на нечетный делитель, нам всего-то надо найти погрешность того же делимого от 2.

Проверим на другом яблоке..

12 : 5

Где мы яблоко большего значения делим на 5 частей.

 

12 : 5 = 2 + 2 : 5

ответом будет 2.4 = 2.4
(но еще раз, погрешность мы лишь узнаем для себя, ибо мы никак не превратим 0.4 в 1)

 

Выходит, что при нечетном делении, если кратность не может быть причиной появления простого ответа, мы берем не остаток, а погрешность как способ нахождения недостающего, утерянного звена.

И мы в настоящий момент не будем округлять до целых значений, в этом нет никакого смысла.
Проще будет сказать следующее:

Что Ответ от некратного деления не может быть равенством, так как изначальный результат отличается от конечного. Поэтому 12 : 5 имеет 2 ответа связанных общей погрешностью,
2* , или 3*
что переводится как от 2 до 3.

И то же самое касается выражения, где мы 8 : 3

 

Яблоки становятся все более наглядными с каждым часом.
Но давайте попробуем взять то самое тяжелейшее действие 55 : 11
(которое мы разбирали и так и не доразобрали ранее)

55 - нечетное делимое, но и делитель у него высокий (выше 10), нечетный.

 

Что же делать в таком случае..
Мы можем поделить 55 на 10, получим большую погрешность..

потому что 5.5 это либо 5 либо 6. ( а я повторюсь мы не округляем в большую сторону)

Могли бы поделить 55 : 12 (как точка отсчета), получили бы ответ либо 4 либо 5

Такое выражение не имеет ответа,но имеет кратность к 11 и 5.

В прошлый раз я пробовал показать вам несколько способов которыми можно было хоть как то доказать эту самую кратность.. но к сожалению с такими опасными числами и столь же опасными операциями с ними приходится просто помнить, что оно кратно только 2 простым частным.

 

Но интересный момент все же имеем, если мы возьмем 2 и поделим на 11, получим 0.18,

а вот если мы 11 поделим на 2, то получим 5,5

Точно так же как если мы 55 поделим на 11, то получим 5.

Это говорит о том, что дистанция между 11 и 55, примерно такая же как между 2 и 11

И ответ лежит где то между 5 и 6. И равен 5*

 

Вернемся к простым вычислениям..

7 : 3

Яблоко со значением 7 надо поделить на 3 части.
Вот только 7 не кратно 3, так же как не кратно 4 или 6..
7 кратно лишь 7.

 

Если мы попробуем 7 поделить на 2, получим в ответе 3*

Когда как если 7 делить на 3 словно четное, получим 2*

А выяснить погрешность вычисления можно 
2 : 3 = 0,66

А ответом будет соотвественно : 3 - 0,66

или 2.33

 

Сразу стоит заметить, что в одном случае ответ вычисляется сложением искомого частного и его погрешности, а в другом напротив - вычитанием одного из другого.

Давайте следующий пример..

9 : 4

 

И снова никакой кратности.. Но мы уже знаем что делать.

Если мы попробуем 9 поделить на 2, получим в ответе 4*

Когда как если 9 делить на 4 словно нечетное, получим 2*

Погрешность всегда вычисляем от 2.
Поэтому 2 : 4 = 0,5

Но если мы 0.5*4 получим 2, а 2+8 даст 10,а не 9 

Значит тут требуется поступить иначе, а именно делить не на 4, а на ближайший ответ (2х4), тобишь 8

 

При том что вот так выглядит кратность 9 к 3

- Вы спросите как же доказать эту кратность.. через погрешность
Если мы берем рисунок, данным способом находим 1/3 от него, это 1.125+2.25 получим 3.37
и вот эти -0.37 - это недостающая часть..
потому что 2,64+0.37 = 3,01, тобишь доказывает что 9 : 3 = 3

2 : 8  = 0,25

И что интересно:
9 : 4 = 2 + 0,25

Ответ будет лежать где-то между 2 и 4.

Мы не можем просто сказать, что Деление - такая вещь, что каждое выражение требует индивидуального подхода к поиску частного (но к сожалению погрешность требует). А значит попробуем применить квадраты, как и в случае умножения.

Поэтому попробуем найти ответ для выражения 7 : 4

 

Если мы попробуем 7 поделить на 2, получим в ответе 3*

Когда как если 7 делить на 4 словно нечетное, получим 1*

Погрешность всегда вычисляем от 2.
Поэтому 2 : 4 = 0,5

+ 2 : 8 = 0,25

Проверяем :
7 : 4 = 1+0,75

 

Сравним с тем, что было в прошлом примере 9 : 4
Мы знаем что ответ лежит между 2 и 3 или 2*
Значит берем в квадрат:

+ 2 : 4 = 0,5

- 2 : 8 = 0,25
Значит в теории ответом будет 9 : 4 = 2 + 0,25

 

Даже учитывая что оба этих примера имеют один и тот же делитель, погрешность между их частными вычисляется по-разному, так как отличается сама область или дистанция. Но в большинстве случаев методика повторяется.

 

5 : 4

 

Ответ будет лежать между 1 и 3, тобишь 1*

2 : 4 = 0,5

- 2 : 6 = 0,25

 

значит 5 : 4 = 1 + 0,25

 

или вот к примеру необычная сиутация..

7 : 6

 

Мы точно знаем что ответ будет равен 1*
тут и гадать не нужно.
Можно оставить так, а можно попробовать определить погрешность через четный квадрат

2 : 6  = 0,33

- 2 : 8 = 0,25

Выходит, что ответ будет равен : 7 : 6 = 1+ 0,08

Проверим и убедимся что это НЕ так.. Ведь ответ 1.16

 

Но почему так. И все дело в том, что ответ, который мы ищем если мы заходим так глубоко как погрешность, не является числом, а является пустой областью (где пересекаются все эти числа), между нашим числом и ближайшим к нему,поэтому нет ни одного нормального универсального способа определить эту область (лишь множество приблизительных методик). Через погрешность и без кратности нельзя наглядно определить результат..
В будущем мы переведем все в десятичные в дробные.. но пока что мы работаем с целыми числами, а все остальное - лишь погрешность вычисления.

Если скажем высказать гипотезу, что все найденные погрешности нужно просто умножить на 2, чтобы определить ответ к выражению, окажется что и в этом случае некоторые делители и расстояния от них до делимого потребуют определенных поправок к результату.

попробуем скажем 9 : 2

2 : 10 = 0,2

Если пойти по примеру умножения,то надо 0.2*2, но это не даст верной погрешности.

А ее даст комбинация:
2 : 10 = 0,2

+ 2 : 8 = 0,25

Почему так.. Потому что от двойки до любого числа все определяется суммой между погрешностями.

 

Когда как скажем 10 : 3

Все опрделяет расстояние между погрешностями (что может выражаться как в разности 2 квадратов, так и в умножении или делении их на некий промежуточный квадрат)

2 : 3 = 0,66

Погрешность частного тут будет равна 0,33 (тобишь 1 : 3)

(или 0.33 х 2, ведь мы делим словно делим 3 на 2 в обратную сторону)

а вот при 10 : 4 все намного прозаичнее..

 

2 : 4 = 0,5

- И погрешность равна Только его четному квадрату.

 

И даже вот так..

При 10 : 7
2 : 8 = 0,28

Которые надо умножить на 3 и лишь после поделить на 2.

К чему все эти забавные размышления на тему Деления..

 

Выразить одно делимое через другое просто и реализуемо.
Выразить одно частное через другое тоже в целом не так сложно..
А вот выразить делимое через отдельно взятое частное или делитель - это задача непростая..

Если у нас нет калькулятора, как нам определить остаток от числа, если каждый раз требуется добавлять заранее сохраненный в памяти устройства кусочек пустой области?

 

Давайте смотреть, что мы имеем в сухом остатке от деления:

Деление - это операция учитывающая результат с погрешностью, кратность позволяет производить деление по памяти, но сверить результат через рисунок или табличку будет не совсем возможно..

Возмите 1 и поделите на 3..
Что даст вам калькулятор..

Он даст известный многим математикам математический бесконечный ряд из 0.33333333333

Потому что погрешность находится очень далеко от известных нам искомых величин.

Но вот мы округлим.. возьмем скажем 0.33333 и вернем обратно в 1
Умножим на 3, и что покажет калькулятор? Он покажет что погрешность делает нашу 1 на примерно 0.000000001 меньше.

А что если мы снова возьмем и поделим "как бы единицу" на 3...
0,999999999 / 3, а получим мы снова 0.33333333, но погрешность сместится еще сильнее.

 

 Вот эта ситуация, когда сколько не крути число после деления, не зная точного места, где находится та самая погрешность, никак нельзя вернуть целое исходное число.

 

Поделим в столбик, чтобы понять где кроется загвоздка:

 

124 : 7 = 17,71  (отделяем число целое от погрешности с помощью плавающей точки или запятой)

12

7----1 (берем от начала ближайшее число которое делится на наш делитель 7, делим, переносим вправо. а вот разницу переносим вниз)

5 4  (объединяем с числом соседним)

4 9---7 (и снова делаем то же самое.. берем лишь то, что делится на делитель, результат переносим)

5

5 0

4 9---- 7

1

1 0

  7--------1

3--- и т.д до бесконечности.. потому что остаток не кратен 7.(лишь получив 70 по итогу деления можно выйти из этого бесконечного ряда)
 

Но возьмем калькулятор.. и умножим сначала 17 на 7
17 х 7 = 119

а затем учтем и погрешность..
0,71 х 7 = 4,97 (или 4* с погрешностью)

И да.. после всего этого мы с горем пополам получаем 124,и то.. неполные

однако.. если мы прервемся и скажем - вот он наш ответ..то с каждым циклом, повторением, ответ будет менятся.. как и погрешность его получения, уодя его все дальше от делимого.

 

Поэтому сверхточные системы работают на той самой бинарной модели.
Где 1 делится на 2 частных комплекта, а 2 делится на 4частных комплекта, и т.д с каждым новым уровнем умнжая предыдущий результат на 2.

Но бинарная модель работает с четными формулами.

 

Поэтому деля 15 на 3, и зная что на 3 уровне мы имеем 4 частных,

мы 15 обязаны делить на 4, а не на 3. Что даст нам приблизительно точный результат, а именно 3,75
И так как мы можем мы добавляем к этому 1, учитывая нечетную природу и получаем результат еще более точный, и еще ближе к 15.

И так с любым нечетным выражением во время любой операции деления..
Конечно можно запомнить многие операции от 0 до 10, и все связанные с ними операции деления.. Но нужно понимать, что любая операция деления с остатком - заведомо неверна.
Наличие остатка говорит лишь о том, что операция не может быть выражена без ошибки. А сам остаток определяет ту самую глубину ошибки, и поэтому самым верным решением будет округлять результат до известного нам.

 

И все же в следующий раз мы продолжим изучать операцию деления, прежде чем закончить Арифметикой и мягкой походкой начать переходить к алгебре. Где пригодятся и дроби и цепочки, которых мы уже вскоре коснемся.

Но прежде мы коснемся тех самых Счет, и попробуем понять, как абакус в то время мог решать проблемы связанные с делением.

Благодарю за ознакомление.