Математика по-новому. Небольшая вводная лекция №4

Приветствуем, Дорогие Подписчики и зрители SEOSPRINT!

 

Сейчас в этот замечательный весенний период, многие ученики средних и высших образований возвращаются обратно к любимому делу - Академическому труду.
Конечно же мы знаем, что мало кто предпочитает учится, учитывая как банально и скучно в наше время подается учебный материал, бывает непривычно осваивать новое, а порой это вгоняет в Депрессию. Сидеть на лекциях, вести конспекты - "Грызть гранит Науки"!

 

А что если мы попробуем с вами поменять отношение к самой идее обучения, и к некоторым сложным предметам в частности. Программисты доказали, что обучить новых людей новым навыкам можно проще и доступнее, если поменять сам подход к образованию и занятся не столько теорией, сколько методологией преподавания. Мы решили сделать в точности то же самое, взять самые сложные изизвестных предметов средних и высших образовательных учреждений и перевести их в иную форму восприятия информации.

 

Какой предмет мы знаем, при упоминании которого в мозгу у человека словно что-то коротит.. Где самым неприятным для каждого будущего абитуриента считается выход к доске, что чаще всего означало неспособность проронить и слова.. Это конечно же Класс Математики.

 

Математика.. Наука всех наук. ч4 - "Азы Арифметики"

 

Думаю пришло время продолжить разбирать основы Математики и ее универсальных принципов, выстроенных на основе наук древности. Ранее мы уже с вами подробно изучили самые простые и некоторые необычные формы построения и решения математических выражений. Успели коснуться и Вычитания, и Суммы и даже Умножения.
Сегодня мы сосредоточим внимание на особенностях больших целочисленных значений.

Но прежде.. зададимся следующим философским вопросом -
Что такое число 10?

 

Ранее число 10 не применялось так же часто как число 9, тобишь погрешность некоторых вычислений составляла 1/10, но почему же это число так отпугивало настоящих философов Арифметики, древнейшей из наук о многообразии форм и размеров.

Вернемся к морфологии - тобишь смысловой составляющей выражений.
10 = 10

где 10 = 1+0

Мы знаем, что есть цифра, а так же число 0.
0 опрделяет собой начало всего и первое число в любом порядке.

Мы также знаем цифру и число 1, которая представляет собой палку или единичный отрезок фрагмент чего-то. 2 Сокраментальных вещи сложились в 1 число..

При том, что изначально связь 1+0, как и связь 1 х 0

обязана была дать 1, или палку с камнем.

Но в нашем случае это приводило к другой сиутации.. Будь это 3 и 2, вопрос решался бы просто и наглядно связь 32 = 3+2, что равняется 5 порядковому номеру.
(смотрите первые лекции, чтобы понять о чем мы рассуждаем)
И все.. вот она основа, от которой можно что-то взять.

Но тут используется 0, как начало начал. Что приводит к появлению нового действия, а именно - сдвига. Нам еще рано говорить о фиксированных и плавающих точках, но 10 как сокровенное число стало именно определением ТОЧКИ.

Где действие + - или *, могло лишь переместить точку влево или вправо.

 

Выходит, что говоря о том, что мы к известному числу прибавляем 10, мы задаем условие, что точка будет перемещена вправо на 1 знак.

 

Арифметика Фиксированного Порядка: Сложение

 

1+10 = 11 Так бы выглядел простой пример.
Но имея вместо примеров лишь образные выражения, мы получаем 110

где тот самый ноль служит точкой, прерывающей поиск ответа.

Проблема лишь в том, что в нашем привычном порядке не находится места для более сложных решений.

9+10 = 910, не должно приводить к 91 и не должно приводить к 10.
Потому что 10 это 1+0, что приводит к бесконечному сдвигу вправо.

а 91 невероятно близко подходит к следующему знаку после 9.. Это просто неудобно.

Но решение нашлось быстро и просто, ведь мы уже проводили суммы, и знаем что в определенных случаях, когда мы имеем двузначные и трехзначные сложения, нам требуется отзеркалить порядок. Но прежде - уравнять условия.

Так 0 превратился в границу.. Которая отделяет одно число от другого..
Чему в высшей математике уделяется большое внимание.

Итак.. выражение 9+10 - неверное.. так как имеет нечетное число знаков.
Сделаем его верным, добавим границу.

09+10 так то лучше!
Теперь берем зеркальный порядок, как мы уже много раз делали:
01+90 

0+1 = 1 (просто 1)

9+0 = 9 (просто сдвиг на 1 знак, тобишь 9 стоит справа на 1 знак правее от 1)

так мы приходим к умозаключению, что 9+10 = 19,

 

проверим в более сложных условиях..

 

110+10 =?

первое предположение будет 11010, но это скорее похоже на бинарный код, поэтому нет.
Нам нужно получить точку после 110, и при этом определить верное число являющееся ответом к выражению.

Границу придется поставить уже перед точкой! получим кобинацию из 3 пар:
110 + 010 = 10 11 00

Теперь сложим в привычном виде:

 

1+0 = 1,  1+1=2, 0+0=0

 

Ответ - 120!

 

Проверим бесконечно сложным порядком от 10:

 

100052582 + 10 

Сначала мы конечно же ставим границу, выравниваем по числу нулей и сдвигов.

100052582 + 000000010, готово..
Далее разбиваем на пары по 2 значения в каждой:

 

10 00 00 00 50 20 50 81 20

 

И вот теперь проводим сложение (заменяя все нулевые пары на 0):

10 50 20 50 81 20 = 100052592

И вуаля! без столбиков мы высчитали выражение с неравным количеством знаков после запятой. Вот этот принцип и называется работа с фиксированной точкой в выражении.

0 или 10 - образует ту самую точку, которую мы ставим лищь для того, чтобы упростить все условия вычислений.

 

И это стало первым серьезным Арифметическим открытием после обнаружения такого числа как 10. Когда стало ясно, что с числом 10 связаны невероятно большие числа, в большим количеством точек и границ, потребовалось еще одно уникальное открытие - Именно функция Деления.. Но так как сама операция очень сложная и если вы ее проводили вначльных классах, то знаете что без дробей и странной вертикальной формы записи ответ не найти, мы займемся всем этим чуточку позже..

Но прежде, давайте играться с сложением дальше.

Скажем у нас есть ситуация, где 10 уже выравнено по числу знаков, нам лишь нужно узнаьт ответ:

 

254 + 110 

 

В этом случае границы заданы и менять их нельзя. (границы нужно ставить там где есть нечетный порядок, или слева или справа число знаков отличается)

 

Но даже без новых границ, мы все равно обязаны отзеркалить весь порядок выражения:

21 51 40 = 364

сразу скажу, ответ верный!

Выходит, что наша с вами находка, а точнее древних философов ранней Арифметики подходит для решения практически всех задач с использованием операции сложения.

Но подходит ли принцип с фиксированной точкой для операции умножения..
Позволит ли эта находка, которой предшествовало открытие 10, как формы универсальной записи, получить ответы на непростые задачи, где важно число конечных пересечений, а не порядок задаваемый границей и точкой.

Арифметика Фиксированного Порядка: Умножение 

Возьмем 110 и 10, проверим с помощью точки и затем и квадратным способом. Сравним результаты.

110 х 10  и применим ту же технику, но без отзеркаливания порядка:

110 010 = 110 10

1 х 1 = 11

0 х 0 = 0 (сдвиг)

0 х 1 = 01 = 1 (ничего + палка = палка) 

1 х 0 = 10 = 0 (точка)

 

11010 а в полном виде 1101 (видим погрешность в последнем знаке)

Найдем реальный ответ с помощью отношения сторон квадрата..

110 10

110/2 = 55 

10/2 = 5

 

60595958 58575756 56555554 54535352 52515150 = 1100

видим, что ответ очень точный. Когда как фиксированная точка дала небольшую погрешность.

Попробуем ее учесть в следующем выражении:

 

101 х 10

 

записываем так:

101 10, нечетное число позволяет имеет нечетное число выражений

1 х 0 = 10

1 х 1 = 11

1 х 0 = 10 (точка) = 0

 

101110 = 1011

-1 (меняем макс значение точки, уменьшая на единицу)

=1010

 

Итак.. что же мы сделали, чтобы избежать решения столбиком.
Мы разбили все на пары и написали их в порядке слева-направо.

101 имеет 2 пары.
10 и 11 (где вторая это связь с числом 10)

И само число 10 является парным с парой 10, но для нас это просто точка или 0.

 

Мы сложили все пары отдельно одна от другой:
В отдельных случаях имея:

1 х 0 = 10 (но в конце выражения это точка)

0 х 1 = 01 = 1

и получили ответ.

 

Проверим квадратом:

101 и 10

Количество квадратов : 10/2

10100 = 10102

110 = 112

55 = 56

 

55545453 53525251 51505049 49484847 47464645 + 10 = 1010

Теперь обратным:

56555554 54535352 52515150 50494948 48474746 - 10 = 1010

 

Итак. 3 способа можно признать рабочими и для таких непростого вида выражений с операцией умножения, и при использовании 10.

Это открыло возможность записывать числа в большие порядки, а так же складывать и вычитать с использованием заданной точки:

 

Арифметика Сложения и Вычитания с несколькими нулями

 

Таким образом, прежде чем перейти к такой вещи как Арифметическое деление, надо подготовить себя большими и необычными операциями из тех, что уже понятны и нам хорошо знакомы. Вычитание и Сложение с несколькими нулями.

К примеру: 44 + 57

Мы знаем, что вторая пара имеет в себе 10, а значит происходит тот самый сдвиг, который мы открыли несколькими мгновениями раньше. Применим его и тут и изучим получше.

Переписываем пример Зеркально, так как это Арифметиеское Сложение.

44 57 = 45 47

45 = 4+5

47 = 4+7

9 и 11, где 11 это 10+1 (если не назначать подобных условий, то можно представить 11 как 1+1 или 1х1), но мы работаем с фиксированной точкой.

911, не забываем сложить 
9+1 и 1 = 101

Выглядит вполне правильно. Но как всегда, продолжим проверку на более сложных примерах.

65 + 79

67 59

67 = 13 (входит 10)

59 = 14 (входит 10)

 

130140 = 13 01 40

1314 = 135 или 144

 

135 мы получаем если складываем от конца к началу, а 144 - если от начала к концу.

Точка работает по следующему принципу:

 

Она запрещает изменение числа! Так как у нас 2 точки, то 2 числа - первое и последнее, не могут подвергаться влиянию других чисел.

 

Проверяем:

 

77 + 69

76 79

76 = 13 (есть 10 в числе 13)

79 = 16 (есть 10 в числе 16)

130160 = 13 01 60

 

13 1 6

1316, следуюя правилу фиксированной точки, мы не меняем 1 и 6

но складываем между ними 1 и 3

получаем в ответе - 146

 

И как видим все верно.
Предлагаю последнюю проверку:

 

48 + 93

 

49 83

49 = 13 (есть 10 в числе 13)

83 = 11 (есть 10 в числе 11)

 

130110 = 13 1 1

1311 = 141

 

И вот так просто..

Запоминаем работу с ФИКСИРОВАННОЙ точкой.

(потому что есть еще и плавающая, но она откроется только после обнаружения деления дробных и десятичных порядков)

 

1 - Всегда делаем зеркальный порядок.
10 + 11 = 11 + 01

Так как сложение и вычитание не происходят началом к началу.

 

2 - Не забываем, что любая сумма дающая число 10 или выше 10, создает фиксированную точку. (левая - для левого значения, правая -для правого)

 

3 - Вставляем 0 на место каждой такой точки.

4 - производим попарное сложение (для удобства делим на пары по 2 числа).

5 - суммируем лишь то, что не закреплено точкой.

Доп:

Если числа 2 и более, которые выше и равны 10, то и точек будет 2 и более.

 

Последним примером возьмем такой, эксперементальный:

 

199 + 1579 = 0199 1579 (где 0 это граница)

Теперь пробуем сложить отзеркалив.

 

01 15 97 99 = (1)6161(8)

16160180 = 1778

 

как мы это получили:
1 отставляем влево
Складываем парой посередине: 
6+1 = 7
6+0 = 6

двигаясь слева-направо складываем 6 + 1 = 7

и получаем 1778

 

Теперь, когда мы вроде как повторили азы Арифметики, научились работать с большими числами, пора изучить такой феномен, как Деление..

Арифметика Фиксированного Порядка: Деление

 

Тема эта очень большая, потому что любое деление по существу - вещь крайне опасная..
Спросите компьютер - "Нравится ли ему операция деления" И он вам ответит (образно конечно) - что это не одна, а несколько последовательных операций, которые в сумме приводят к большим и очень большим погрешностям вычисления.

 

Операция деления имеет значок ":" Двоеточие.
Почему и зачем, ответить мало кто на это способен. Но ходит такая версия, что причиной деления изначально была необходимость сравнивать разные вещи между собой. И такое нестандартное расположение "в две точки" - означало лишь операцию Сравнения.

Если говорить о Делении, как о некой попытке на глаз определить возможность создать из нескольких вещей одну, то приходится вспомнить об Умножении, которое изначально к этому общему и имело отношение.. 

 

Однако, вполне логично будет решить, что Операция деления, это скорее не новое действие, а лишь обратное операции Умножения, тобишь откат некоторого числа пересечений назад. Вот только проблема возникает тогда, когда деление не способно вернуть тот же самый первоначальный вид.

 

Но давайте по-порядку..
Для начала наше любимое 10 х 10 =100, где 100 это число точек пересечения, которые имеют хоть какую то заметную пользу для выражения.

 

Значит, на примере Вычитания, нам требуется переместить частное за знак равенства, и тем самым сменить знак с  х (он же * ) на :

Попробуем:
100 : 10 = 10

Пока все вроде как очевидно и ничего не путается. Но что мы написали..
Что 100 по отношению к 10 это сами 10.

Это как дом сравнивать с собачей будкой. 

 

Предположим, что в одном доме можно уместить примерно 10 собачих будок, но это не даст нам тот же дом, так как форма будет отличатся от первоначальной. Поэтому говорят, что операция Деления с каждым новым повторением ухудшает предыдущий результат,но только если речь об одном и том же выражении или цепочке выражений, где каждое отдельное выражение приводит к общему ответу.

 

Итак, хорошо. С умножением мало общего. Что тогда с точкой, все же тут у нас действие с 10-кой.

100 : 10 = 10, это как точка которую переместили не в право, а влево.
в этом случае мы получаем 10. 

Но а что если мы возьмем 10 и поделим на 10..
10 : 10 = 1, тобишь получим что каждая будка строится из 10 отдельных палок.
Это хорошо.

а если 1 : 10 = 0
Не удивляйтесь, такой вещи как дробные выражения не было еще очень очень долгое время.
Они появились с разделом Алгебры, уже в более современные эпохи. Зато все, что предшествовало их появлению определялось только целыми и натуральными числами.
Тобишь если мы берем запятую и ставим левее 0, мы получаем 0.

Если бы мы говорили о правильном способе записи, то имели бы интересную ситацию.
Вначале точка переходила бы справа-налево, но минуя отметку нуля, она бы снова перешла слево-направо.

Тобишь 10 : 10 давало бы в результате 1.
Но вот 1 : 10, давало бы в результате 10

Поскольку не было никакой разницы в последовательности записи выражения:

что 10 : 1, что 1 : 10 - было одним и тем же выражением.

 

Но перейдем к чему-то попроще..

1 : 1 = 1

(мы наконец пришли к чему-то что хорошо знаем)
к формам и объемам.

1 форма палки деленная на 1 палку или ее форму =  1 палка или ее форма.

Но что если 1 : 2 
Что это такое.. Мы берем 1 форму или размер чего-то, и мы решаем просто на глаз поделить это на 2 равных части. Вывод очевиден - ответ 2. У нас была 1 общая форма, стало 2..

но вот беда. Это не то же самое, что 2 : 1
Ведь в этом случае мы форму не меняем, мы лишь на глаз определяем, что 2 вещи к 1 вещи дадут те же 2 вещи. Но вот 1 к 2, когда требуется именно физически поделить предмет на 2 разных половины (да даже если одинаковых).. не позволяет получить тот же предмет с помощью умножения. Поскольку это будет 3 разных формы..
Где общая форма отличается от 2 половинок.

Таким образом, деление поделило само себя на 2 равных части..
В одном случае - дробные, или все что делится на большее чем оно само,
а в другом случае

- Обыкновенные действия с натуральными действительными числами, но запрещающее обратный порядок записи.

 

Если мы могли определить некоторую производную.. тобишь что-то что не меняется в размере и может в сумме дать целое, тогда пришлось бы привязать деление только к кратным значениям.

 

Кратность - значит форма и конечный вид заданы его частью.

 

В нашем случае 10 может быть задана 5, 2, и 10.

Тобишь в этом случае можно вернуть 10-ку к первоначальному виду.

Кратность так же сильно помогает в запоминании действий связанных с делением, потому что кратные производный числа, всегда кратны между собой.

Тобишь переводим в простую форму записи, которую мы уже как то использовали:

10 = 5*2

 

и 5*2 даст 10, и 5*2*1 даст 10

Что значит выразить операцию Деления через Кратность:

 

Значит определить строго, что 10 : 2 = любому ближайшему по кратности числу.

тобишь 10 : 2 = 5 ( если делитель далеко от частного, тогда и кратное ему производное берется правее делителя) Если мы делим на 5, то ответом будет 2.

Если делим на 2, ответом будет 5.

 

Возьмем к примеру 8 : 2

Мы знаем ответ, но можно ли его доказать с помощью обыкновенной кратности.
Для этого нам хватает мысленно представить, что мы делим предмет на 2 одинаковых части.

- Что мы тут видим..
Что Кратность к 8 определяется 2 кратными ему значениями, 2 и 4.
Тобишь мы можем выразить это через следующий вид:

 

2 + 4 = 8, но если быть еще точнее (так как речь о частях 1 целого, а не о количестве или объеме), то мы имеем 2 х 4 = 8, но для удобства будем использовать форму записи 2 х 4 = 24

 

Кратность можно выразить через то самое Умножение.

Правда тут возникает момент.. и довольно спорный по своей природе.
Что если мы делим на 4, а не на 2..
Что будет правильнее: Делить целое на 4.. что кажется проще, но сделайте это сами, попробуйте в 1 действие поделить предмет на равных 4 части.
Возможно у вас получится, но все мы предпочтем другой способ.

- Тобишь делать все не в одно, а в два действия.. Сначала поделить пополам, а потом половинки еще пополам. И получится точнее, ровнее, да в целом полезнее.

Сразу смотрим: 8 кратно 2 и 4.
Значит 8 деленное на 4 = 2.

В свою очередь 24 : 2 половины даст 2222, тобишь зрительно 4 одинаковых или почти одинаковых части.

И вот становится интересно, поскольку мы касаемся нового открытия..
1) Чем больше число нак которое мы делим, тем больше операций с ним требуется.
2) Чем глубже операция деления, тем она точнее..

 Поэтому и будем мы с вами и вашими детьми учится делению в несколько шагов, а не привычным способом с переносом точки и остатка.

 

К примеру 55 поделим на 5..
55 кратны 11 и 5.

Зарисуем мячик, для простоты понимания:


- Мы можем поделить на 2 случая и оба они полезные, так как деление объединяет в себе все опции поиска ответов.

в первом случае у нас 2 разных формы образующих одно целое : 11 и 5
во втором случе у нас 2 одинаковых формы в союзе дающих одно целое 115, или 11+5 или 55 : 2

 

Мы не можем сразу поделить 55 на 5, хоть и знаем ближайщее кратное значение. Нам важно доказать, что оно не просто взято из головы.

Мы будем делить пополам ровно 5 раз..

- 1 раз мы уже поделили, создали связь 115, ну или 25, если вспомнить мофологию записи:

11 =  1+1, а 5 = 5

25.. (и заметьте - никаких 27.5.. нельзя и забыли до лучших времен) 

 

Делим снова:

 

- Для удобства добавим на мячик точечку слева.

- Почему происходит то, что происходит?

Дело в том, что в процессе деления крайне редко мы делим без остатка..

А остаток приходится исключать из деления.. Это как та часть предмета, которая теряется в процессе его деления на 2.. Кстати деление на 2 и деление на 3, самые жестокие в этом плане операции.. Так как потеря по остатку может достигать 33% от изначального делимого.

 

Если бы мы шли привычным способом, где форма не имела бы значения, а конечный вид получался бы из любого мусора, тогда конечно каждое число можно было бы делить без остатка и перенести его ближе к началу, чо и дало бы нам 25:2 = 13, но увы.. Мы предпочитаем настоящую Арифметику где куда меньше допущений чем в современной ее версии.

Делим в 3 раз..

- Давайте сразу отметим, что даже учитывая что точность деления возросла, наш бедный мячик все больше теряет от изначальной формы.. И его все сложнее становится собрать вместе.. Все дело в том, что даже учитывая, что мы делим на 2 (фиксированно), мы делим каждый отдельный фрагмент на 2 половины..

Делим в 4 раз..

 

- С каждым делением осколков становится все больше и больше. Предмет уже неузнаваем, но числа становятся точнее.. И в этом суть деления. 

 

Благодарю за Ознакомление.